NÚMEROS ENTEROS

 El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales, sus opuestos (negativos)y el cero.

     

Los números enteros se dividen en tres partes:

1 Enteros positivos o números naturales
2 Enteros negativos
3 Cero

Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera que los números naturales son un subconjunto de los enteros.

• Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.
El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.

Ejemplo:

|−5| = 5

|5| = 5

• Representación de los números enteros

1 En una recta horizontal, se toma un punto cualquiera que se señala como cero.
2 A su derecha y a distancias iguales se van señalando los números positivos: 1, 2, 3, ...
3 A la izquierda del cero y a distancias iguales que las anteriores, se van señalando los números negativos: −1, −2, −3, ...

 OPERACIONES CON LOS NÚMEROS ENTEROS

• SUMA

1.- Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.

Ejemplo:

3 + 5 = 8

(−3) + (−5) = −8

2.- Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.
Ejemplo:

−3 + 5 = 2

3 + (−5) = −2

Propiedades de la suma de números enteros

1 Interna

El resultado de sumar dos números enteros es otro número entero.

     

Ejemplo:

 

2 Asociativa

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

     (a + b) + c = a + (b + c)

Ejemplo:

(2 + 3) + (−5) = 2 + [3 + (−5)]
5 − 5 = 2 + (−2)
0 = 0

3 Conmutativa

El orden de los sumandos no varía la suma.

     a + b = b + a

Ejemplo:

2 + (−5) = (−5) + 2
−3 = −3

4 Elemento neutro

El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.

     a + 0 = a

Ejemplo:

(−5) + 0 = −5

5 Elemento opuesto

Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado cero.

      a + (−a) = 0

Ejemplo:

5 + (−5) = 0

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

Ejemplo:

−(−5) = 5

•  RESTA 

La resta de números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

      a − b = a + (−b)

Ejemplo:

7 − 5 = 7 + (−5) = 7 − 5 = 2

7 − (−5) = 7 + [−(−5)] = 7 + 5 = 12

•  MULTIPLICACIÓN

La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

+ · + = +
− · − = +
+ · − = −
− · + = −

Ejemplo:

2 · 5 = 10

(−2) · (−5) = 10

2 · (−5) = −10

(−2) · 5 = −10

 

Propiedades de la multiplicación de números enteros

1 Interna

El resultado de multiplicar dos números enteros es otro número entero.

     

Ejemplo:

 

2 Asociativa

El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números enteros cualesquiera, se cumple que:

      (a · b) · c = a · (b · a)

Ejemplo:

(2 · 3) · (−5) = 2 · [(3 · (−5)]

6 · (−5) = 2 · (−15)

−30 = −30 

3 Conmutativa

El orden de los factores no varía el producto.

      a · b = b · a

Ejemplo:

2 · (−5) = (−5) · 2

−10 = −10 

4 Elemento neutro

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

      a · 1 = a

Ejemplo:

(−5) · 1 = (−5)

5 Distributiva

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

      a · (b + c) = a · b + a · c

Ejemplo:

(−2) · (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5

(−2) · 8 = (−6) + (−10)

−16 = −16

6 Sacar factor común

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

      a · b + a · c = a · (b + c)

Ejemplo:

(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)

•   DIVISIÓN

La división de dos números enteros es igual al valor absoluto del cociente de los valores absolutos entre el dividendo y el divisor, y tiene de signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

+ : + = +
− : − = +
+ : − = −
− : + = −

Ejemplo:

10 : 5 = 2

(−10) : (−5) = 2

10 : (−5) = −2

(−10) : 5 = −2

  

AQUÍ TENÉIS ALGUNAS ACTIVIDADES PARA PRACTICAR (PINCHAD EN LOS SIGUIENTEA ENLACES)

ACTIVIDADES DE NÚMEROS ENTEROS I 

ACTIVIDADES DE NÚMEROS ENTEROS II 

NÚMEROS NATURALES

El conjunto de los números naturales está formado por:

N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}

Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).

Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales:

5 > 3;    5 es mayor que 3.

3 < 5;    3 es menor que 5.

Los números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1, obtenemos otro número natural. 

Operaciones con números naturales

• Suma de números naturales: a + b = c

Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.

Propiedades de la suma

1.Interna: a + b
2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

5 + 5 = 2 + 8

10 = 10

3.Conmutativa: a + b = b + a

2 + 5 = 5 + 2

7 = 7

4. Elemento neutro: a + 0 = a

3 + 0 = 3

• Resta de números naturales: a - b = c

Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo llamamos diferencia.

• Mutiplicación de números naturales: a · b = c

Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.

Propiedades de la multiplicación

1. Interna: a · b
2. Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)

(2 · 3) · 5 = 2· (3 · 5)

6 · 5 = 2 · 15

30 = 30

3. Conmutativa: a · b = b · a

2 · 5 = 5 · 2

10 = 10

4. Elemento neutro: a · 1 = a

3 · 1 = 3

5. Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c

2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5

2 · 8 = 6 + 10

16 = 16

6. Sacar factor común: a · b + a · c = a · (b + c)

2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)

6 + 10 = 2 · 8

16 = 16

• División de números naturales: D : d = c

Los términos que intervienen en un división se llaman, D, dividendo y d divisor. Al resultado, c, lo llamamos cociente.

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ACTIVIDADES CON NÚMEROS NATURALES